Аттракторы представляют собой притягивающие множества динамических систем. С 60-х годов прошлого века они находятся в центре внимания математиков, занимающихся такими системами. Несмотря на то, что большую часть результатов из этой области почти невозможно объяснить простым языком, компьютер позволяет наглядно показать, как устроены эти удивительные множества.
1 / 30
Аттрактор Айдзавы, частный случай аттрактора Лоренца
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Аттракторы (от английского to attract, то есть притягивать) — это особые множества, которые возникают в теории динамических систем. Чтобы объяснить, что это такое, потребуется несколько несложных понятий.
4 / 30
Аттрактор Анищенко-Астахова
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Динамическая система — это не строгое математическое понятие. Обычно под этим термином понимают некоторое геометрическое пространство, на котором задано правило эволюции точек во времени.
6 / 30
Аттрактор Арнеодо
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Время может быть дискретным (тогда говорят о дискретных динамических системах) и непрерывным. В последнем случае такого рода системы часто задаются системой дифференциальных уравнений. Об этом и пойдет речь далее.
8 / 30
Аттрактор Боуали
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Каждая точка пространства с течением времени описывает некоторую траекторию, возможно, очень сложно устроенную. Аттрактором называется множество, которое притягивает траектории движения точек.
10 / 30
Аттрактор Берка-Шоу
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Слово «притягивает» означает, что с течением времени траектория все ближе и ближе подходит к аттрактору. Более того, если траекторию немного возмутить, то есть «толкнуть» точку динамической системы в сторону, то траектория притягиваться к множеству не перестанет.
11 / 30
Аттрактор Чена
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Кстати, множества, от которых траектории отталкиваются, называются репеллерами (от английского to repel, то есть отталкивать).
13 / 30
Аттрактор Чена-Ли
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Как может быть устроен аттрактор? Математики знали, что он может быть крайне сложным с точки зрения топологии. Такие аттракторы получили название странных. Иногда даже такое множество может оказаться фракталом.
14 / 30
Аттрактор Чуа
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Но до 1960-х годов такие плохо устроенные аттракторы воспринимались как что-то экзотическое и поэтому не заслуживающее серьезного внимания. В частности, считалось, что небольшое возмущение уже всей системы разрушает такую экзотику.
16 / 30
Аттрактор Кулле
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Ситуация изменилась, когда Стивен Смейл придумал дискретную динамическую систему, получившую название «подкова Смейла». Оказалось, что, с одной стороны, аттрактор этой системы устроен сложно, а с другой стороны, небольшие колебания уже всей системы аттрактор не ломают.
17 / 30
Спаренный аттрактор Лоренца
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Подкова Смейла устроена достаточно просто. Ей соответствует следующий физический процесс. Представьте, что геометрическое пространство — как кусок пластилина.
18 / 30
Аттрактор Дадрас
Chaotic Atmosphere/Behance.net
С каждым моментом времени (ведь система, как уже говорилось раньше, дискретная) кусок пластилина растягивается в два раза и складывается пополам.
19 / 30
Финансовый аттрактор
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Все представленные аттракторы представляют собой аттракторы трехмерных динамических систем.
21 / 30
Четырехкрылый аттрактор
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Для каждого аттрактора, помимо названия, указана система дифференциальных уравнений, задающая соответствующую динамическую систему. Указаны также значения числовых параметров системы, для которых проводились расчеты.
23 / 30
Аттрактор Генезио-Тези
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Визуализация выполнена с помощью специальных плагинов для программного обеспечения 4D Cinema.
25 / 30
Усеченный по модулю 1 аттрактор Лоренца
Chaotic Atmosphere/Behance.net
На картинках изображены не сами аттракторы, а поверхности, полученные набором (пучком) траекторий, идущих в близости от самого аттрактора.
27 / 30
Аттрактор Ньютона-Лейпника
Chaotic Atmosphere/Behance.net
Так как компьютер работает только с конечными траекториями, на картинке возникают «концы» аттракторов, которые не встречаются в действительности.
28 / 30
Аттрактор Нозе-Гувера
Chaotic Atmosphere/Behance.net
С другой стороны, подобный подход придает абстрактным множествам определенную степень реальности. Такого рода объекты вполне можно изготовить из настоящих материалов.
Комментарии к материалу закрыты в связи с истечением срока его актуальности