В сентябре британский ученый Майкл Атья заявил о доказательстве гипотезы Римана, подтверждение или опровержение справедливости которой считается одной из важнейших проблем фундаментальной математики последние сто с лишним лет. Большинство коллег 89-летнего почетного профессора Эдинбургского университета (Великобритания) считают доказательство некорректным. Необычность ситуации придает чрезвычайно высокая квалификация Атьи, который в 1966 году получил Филдсовскую премию, а в 2004 году удостоился Абелевской премии. «Лента.ру» рассказывает о гипотезе Римана и работе Атьи.
О возможном доказательстве гипотезы Римана британский математик рассказал в ходе 45-минутного выступления, состоявшегося 24 сентября на встрече Гейдельбергского форума лауреатов (Германия). Еще раньше, 21 сентября, ученый заявлял, что найденное им доказательство гипотезы оказалось настолько простым, что его поймут молодые математики вроде тех, которые собрались на мероприятии в Гейдельберге. В действительности представленное им обоснование, занимая менее страницы, использует понятия, требующие дополнительных разъяснений, в результате чего возможное доказательство гипотезы Римана считать лаконичным можно лишь условно.
Исторически гипотеза, получившая название в честь автора, немецкого математика Бернхарда Римана, сформулирована в 1859 году. В ней утверждается, что все нетривиальные нули дзета-функции (Римана) расположены на прямой Re s = 1/2. Как правило, представление, используемое для дзета-функции Римана, выбирается в зависимости от ограничения, налагаемого на Re s. Например, дзета-функцию Римана, зависящую от комплексной переменной s, в случае, когда Re s > 1, записывается в виде бесконечной суммы слагаемых вида ns (суммирование производится по n от 1 до ∞), а тривиальными нулями, положение которых определяется соответствующим функциональным уравнением на дзета-функцию Римана, выступают отрицательные четные целые числа (то есть -2, -4, -6 и так далее).
Зачем вообще нужна гипотеза Римана? Ответ заключается в том, что функция распределения простых чисел, то есть таких, которые больше 1 и делятся без остатка только на 1 и самих себя, описывается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Если, например, к простым числам относятся 2 = 1 x 2, 3 = 1 x 3, 5 = 1 x 5, то 4 = 1 x 4 = 2 x 2 и 6 = 1 x 6 = 2 x 3 являются уже составными натуральными числами. При этом под распределением простых чисел понимается число простых чисел, не превосходящих некоторое заданное положительное вещественное число. Например, если таким числом задать 10, то функция распределения будет равна 4, что совпадает с количеством простых чисел (2, 3, 5 и 7), меньших 10.
Поскольку, согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число большее 1, является простым или образовано произведением единственно возможного набора простых чисел, становится понятно, что гипотеза Римана в случае своей справедливости позволяет отследить ряд важных, в частности, для криптографии, свойств простых чисел, таких как, например, упоминаемое выше количество простых чисел, не превышающих заданное положительное вещественное число или расстояние между двумя последовательными простыми числами.
В целом подтверждение гипотезы Римана, в правильности которой особенно уверены специалисты по компьютерной математике, позволит автоматически доказать ряд важных утверждений из теории чисел и связанных областях математики, в частности, алгебраической геометрии. В настоящее время численными методами проверено, что более десяти триллионов первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют одноименной гипотезе.
Главный вывод, озвученный математиком, сводится к тому, что на прямой Re s = 1/2 функция Тодда имеет предел, обратный постоянной тонкой структуры. Данное утверждение, согласно Атьи, автоматически доказывает гипотезу Римана. Между тем у подавляющего большинства математиков и физиков, по крайней мере поверхностно ознакомившихся с доказательством британского ученого, возникли как минимум два вопроса: как определяется функция Тодда и какое отношение к гипотезе Римана имеет постоянная тонкой структуры.
Рассуждения Атьи основаны на двух небольших препринтах, не опубликованных в рецензируемых научных журналах и выложенных даже не в библиотеку электронных препринтов arXiv.org, а всего лишь на файлообменник Google Drive. В одной публикации, насчитывающей вместе со списком литературы семнадцать страниц, дается краткое описание функции Тодда, слабо аналитической и представимой в виде предела аналитических функций, которая связывается с постоянной тонкой структуры. Другая публикация, включающая пять страниц, посвящена непосредственно гипотезе Римана.
Фактически Атья предлагает математически обосновать постоянную тонкой структуры, которая в Международной системе единиц является безразмерным параметром, приближенно равным 1/137 и получаемым комбинацией четырех фундаментальных физических постоянных (элементарного электрического заряда, постоянной Дирака, скорости света в вакууме и электрической постоянной). Постоянная используется в качестве параметра разложения ряда теории возмущений в квантовой электродинамике, в частности, при расчетах энергетического расщепления спектральных уровней атомов.
Таким образом Атья пытается развить на основе теории чисел и физики некоторую «арифметическую физику», которая, в частности, послужила бы уверенным обоснованием для перенормировки — метода устранения расходимостей в квантовой теории поля. Стоит отметить, что попытки математического обоснования значений фундаментальных физических констант, а также более последовательной физической интерпретации перенормировок, чем существующая, ранее предпринимались неоднократно, однако приводили, мягко говоря, к скромным результатам.
В конечном итоге такой подход Атьи, желающего встретить закономерности там, где их долго искали и не нашли, и вызывает у его коллег скептицизм по отношению к представленному доказательству. В любом случае проверка решения одной из семи «проблем тысячелетия» потребует времени и внимания математиков. Здесь стоит вспомнить, что по предложенному в 2016 году Атьей решению вопроса о существовании комплексной структуры на шестимерной сфере, одной из важнейших задач дифференциальной геометрии, среди математиков до сих пор нет консенсуса.